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二元一次不等式(Two-Variable Inequalit


若 $$a,b,c$$ 为实数,且 $$a,b$$ 不同时为0,则称 $$ax+by+c=0$$ 为二元一次方程式;

又因为它的图形为一直线,也称为直线方程式。

图一正是二元一次方程式 $$2x+y=2$$ 的图形。事实上,直线 $$2x+y=2$$ 上的任一点,

其坐标 $$(x,y)$$ 都满足方程式 $$2x+y=2$$,换言之,都是方程式 $$2x+y=2$$ 的解。

因此,当点 $$P$$ 的 $$x$$ 坐标为 $$x_0$$ ,易推得 $$y$$ 坐标为 $$2-2x_0$$ 。

二元一次不等式(Two-Variable Inequalit

当我们将方程式其中的等号 $$”=”$$ 改成不等号 $$”>”,”\ge”,”<“$$ 或 $$”\le”$$ 就称为二元一次不等式。

例如, $$2x+y>2,2x+y\le 2$$ 均为二元一次不等式。

然而,满足二元一次不等式的解又会形成什幺图形呢?

比如说,满足 $$2x+y>2$$ 的解是什幺图形?

仔细观察图二,直线 $$2x+y=2$$ 将平面分成二个半平面,成为两个半平面的界线。

显然,直线 $$2x+y=2$$ 上的点并不满足 $$2x+y>2$$。

若在上半平面(斜线标示)内任取一点 $$Q(x_0,y_0)$$,

过 $$Q$$ 点作 $$x$$ 轴的垂线,交直线 $$2x+y=2$$ 于 $$P$$ 点,则 $$P$$ 点坐标为 $$(x_0,2-x_0)$$ 。

由于 $$Q$$ 点在 $$P$$ 点上方 $$\Rightarrow y_0>2-x_0 \Rightarrow 2x_0+y_0>2$$ ,

因此 $$Q(x_0,y_0)$$ 满足 $$2x+y>2$$ ,

这也说明了上半平面(斜线标示)上的任一点都是 $$2x+y>2$$ 的解。

二元一次不等式(Two-Variable Inequalit

同理,下半平面上的任一点都是 $$2x+y<2$$ 的解。

一般而言,若不等式的解区域不含界线,会以虚线表示。

若是二元一次联立不等式的解区域,则是将每一个二元一次不等式的解区域绘出,再取其交集。

如图三,即为 $$\left\{ \begin{array}{l} 4x – y – 7 \le 0\\ 3x – 4y + 11 \ge 0\\ x + 3y – 5 \ge 0 \end{array} \right.$$ 的解区域。

二元一次不等式(Two-Variable Inequalit

进一步,在满足联立不等式的条件下,我们还能考虑所求函数的极值问题,

比如说, $$x,y$$ 满足联立不等式 $$\left\{ \begin{array}{l} 4x – y – 7 \le 0\\ 3x – 4y + 11 \ge 0\\ x + 3y – 5 \ge 0 \end{array} \right.$$ ,

求 $$f(x,y)=x-y$$ 的最大值与最小值。该如何处理?

这时几何表徵成为很好的切入点,无论 $$x,y$$ 何值,代入 $$f(x,y)=x-y=k$$ 正是代表一条直线,而 $$k$$ 值的变动,即是一组斜率为 $$1$$ 的平行直线(如图四),因此,便可观察到最大值发生在点 $$(2,1)$$ ,最大值为 $$1$$ ;最小值发生在点 $$(-1,2)$$ ,最小值为 $$-3$$。

二元一次不等式(Two-Variable Inequalit

将几何表徵与代数式的连结,是数学解题重要的技巧,不妨再考虑这一题:

若 $$x,y$$ 承上述限制,求 $$g(x,y) = \frac{{y + 2}}{{x + 3}}$$ 的最大值与最小值。

建议想想直线斜率的定义,应该很快就能得到最大值为 $$2$$;最小值为 $$\frac{3}{5}$$。

其实,许多日常生活中的问题都能表示成二元一次联立不等式,因此,上述满足某些二元一次不等式的条件,找寻所求函数的最大或最小值的方法,成为我们解决实际问题,提出最佳解法的凭据。有兴趣的读者,请参阅〈线性规划〉一文。


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